今回は複雑な多角形の角の和の問題とその考え方です。
星型などの複雑な図形の角の和を求めるとき、三角形の外角の定理や、ブーメラン型四角形の角、リボン型（ちょうちょ型）の三角形の角の考え方が役立ちます。
角の和の例題と解き方を紹介しますので、どう解いたらいいかわからないという人は参考にしてみてください。
多角形の角の和【考え方の基本】
多角形の角の応用問題を解く前に、まずは基本的な多角形の内角の和、外角の和を確認しておきます。
ｎ角形の内角の和・・・\(180°\times (n-2)\)
ｎ角形の外角の和・・・\(360°\)
三角形の外角の定理も重要です。
さらに応用問題を解くとき、下の図のブーメラン型四角形と、リボン型図形の角の和を求める方法が役に立ちます。（いずれも外角の定理で説明できますが、ここでは省略します。）
複雑な多角形の角の和を求めてみよう
下の図の印をつけた角の和を考えていきます。
星型タイプ 角の和
外角の和や、ブーメラン型の四角形を見つけて解くことができます。
例題1
下の図のように三角形の外角の定理を利用して考えると、
\(ア+ウ=キ\)、\(イ+エ=カ\)より、\(ア+イ+ウ+エ+オ=カ+キ+オ=180°\)となります。
（別解）下の図のようにブーメランの性質を利用して考えると、
\(ア+ウ+エ=カ\)、また対頂角は等しいので\(カ=キ\)、\(ア+ウ+エ=キ\)となり、\(ア+イ+ウ+エ+オ=イ+オ+キ=180°\)となります。
例題2
ブーメランの性質を使って考えると、
赤のブーメランに注目すると、\(ウ+エ+キ=ク\)、対頂角は等しいので\(ク=コ\)
青のブーメランに注目すると、\(イ+オ+カ=ケ\)、対頂角は等しいので\(ケ=サ\)となります。
したがって、\(ア+イ+ウ+エ+オ+カ+キ=ア+ク+ケ=ア+コ+サ=180°\)となります。
例題3
内側の色を塗った七角形に注目します。
外角の和は\(360°\)になるので、
●の和が\(360°\)、また●の和も\(360°\)となります。●の和＋●の和は\(360°\times2=720°\)となります。
印の角の和は三角形7つ分の内角の和－(●の和＋●の和) となるので、
\(180°\times7－720°＝540°\)となります。
内側に三角形タイプ 角の和
内側に三角形ができているタイプでは補助線をひき、リボン型の図形に注目して解くことができます。
例題4
下の図のように、図形に補助線をひきます。
リボン型から\(エ+オ＝カ+キ\)となり、印の角の和は、三角形の角の和と等しくなります。
\(ア+イ+ウ+エ+オ＝ア+イ+ウ+カ+キ＝180°\)
💡ブーメラン型四角形に注目して解くこともできます。
例題5
下の図のように補助線をひくと、リボン型から\(オ+カ＝キ+ク\)となり、角の和は四角形の角の和と等しくなることがわかります。
\(ア+イ+ウ+エ+オ+カ＝ア+イ+ウ+エ+キ+ク＝360°\)
例題6
下の図のように補助線をひくと、問題の印をつけたところの角の和は、六角形の角の和と等しくなります。
\(キ+ク＝ケ+コ\)なので、
\(ア+イ+ウ+エ+オ+カ+キ+ク=ア+イ+ウ+エ+オ+カ+ケ+コ\)
\(＝180°\times(6-2)＝720°\)
まとめ
複雑な多角形の角の和は外角の定理だけでも解けますが、ブーメラン型四角形、リボン型も使いこなせると、時間を短縮して解くことができます。図形によっては補助線をひくことで解決の糸口が見つかります。
🟧星型の多角形 … 三角形の外角、ブーメラン型の四角形（凹四角形）、外角の和に注目して解く
🟧三角形が中にある多角形 … 補助線をひいて多角形の和を考える、リボン型に注目して解く
