高校数学で学習する、対称式と交代式（3変数）の因数分解についてまとめました。
- 対称式と交代式の違いがわからない
- 対称式と交代式、因数分解するとどんな答えに？
- 3つの変数がある対称式、交代式の因数分解を解くコツを知りたい
という方にオススメの内容です。
対称式と交代式とは？
式の中のどの２文字を交換しても同じ式になるなら対称式、どの２文字を交換しても前の式と符号だけ変わるのが交代式です。
対称式の例
\(x^2+y^2\)
\(x^3+y^3\)
\(x^3+y^3+z^3\)
\(x+y-xy\)
\((x+y)^2\)
\((x-y)^2\)
\((x+y)(y+z)(z+x)\)
\(x(y^2+z^2)+y(z^2+x^2)+z(x^2+y^2)+2xyz\)
\(x+y-xy=y+x-yx\)
\((x-y)^2=(y-x)^2\)
と\(x, y\)を入れ替えても式は等しくなります。このような式が対称式です。
特に2変数の対称式で\(x+y\)と\(xy\)は基本対称式と呼ばれます。
3変数の基本対称式は\(x+y+z\)と\(xyz\)と\(xy+yz+zx\)です。
対称式はすべて基本対称式を用いて表すことができます。
\(x^2+y^2+z^2\)
\(=(x+y+z)-2(xy+yz+zx)\)
交代式の例
\(x^2-y^2\)
\(x^3-y^3\)
\((x-y)(y-z)(z-x)\)
\(x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)\)
\(x(y-z)^3+y(z-x)^3+z(x-y)^3\)
\(x^2-y^2\)の\(x,y\)を入れ替えると、
\(y^2-x^2=-(x^2-y^2)\)
\((x-y)(y-z)(z-x)\)の\(x,y\)を入れ替えると、
\((y-x)(x-z)(z-y)\)
\(=-(x-y)(y-z)(z-x)\)
と、元の式の符号を入れ替えたものになっています。
3変数の対称式と交代式の因数分解
公式を使わずに、3変数の対称式・交代式を解くとき、いずれも1つの文字に注目して整理するのが基本の解き方となります。
対称式の因数分解
\(x(y^2+z^2)+y(z^2+x^2)+z(x^2+y^2)+2xyz\)を因数分解してみます。
\(x\)の字数が高い順に式を整理します。
\(x(y^2+z^2)+y(z^2+x^2)+z(x^2+y^2)+2xyz\)
\(=x(y^2+z^2)+yz^2+x^2y+x^2z+y^2z+2xyz\)
\(=(y+z)x^2+(y^2+2yz+z^2)x+yz(y+z)\)
\(=(y+z)x^2+(y+z)^2x+yz(y+z)\)
\(y+z\)が共通因数になることに注目し、さらに進めていくと…
\(=(y+z)(x^2+xy+zx+yz)\)
\(=(y+z)\left\{ x(x+y)+z(x+y)\right\}\)
\(=(y+z)(x+y)(x+z)\)
輪環の順で整理します
\(=(x+y)(y+z)(z+x)\)
これも基本対称式で表されてますね。
交代式の因数分解
\(x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)\)を因数分解してみます。
\(x\)の字数が高い順に式を整理します。
\(=x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)\)
\(=x^2(y-z)+y^2z-y^2x+z^2x-z^2y)\)
\(=x^2(y-z)-(y^2-z^2)x+y^2z-z^2y\)
\(=x^2(y-z)-(y+z)(y-z)x+yz(y-z)\)
\(=(y-z)(x^2-xy-zx+yz)\)
\(=(y-z)\left\{x(x-y)-z(x-y)\right\}\)
\(=(y-z)(x-y)(x-z)\)
輪環の順にするのでマイナス(－)を前に出して
\(=-(x-y)(y-z)(z-x)\)
交代式を因数分解すると、\((x-y)(y-z)(z-x)\)や\((a-b)(b-c)(c-a)\)のような交代式が因数に含まれます。交代式と対称式の積になることもあります。
降べきの順だと難しいときは？
降べきの順に並べるやり方ではきつい場合は、くふうして解くことが必要になります。公式にもなっている\(a^3+b^3+c^3-3abc\)を例にして解くと…
\(a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc\)
\(=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc\)
\(=\left\{ (a+b)+c \right\} \left\{(a+b)^2-(a+b)c+c^2 \right\} -3ab(a+b+c)\)
※やりづらければここまで\(a+b\)を文字に置き換えて解いてみてください。
\(=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ca-bc+c^2)-3ab(a+b+c)\)
\(=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ca-bc+c^2-3ab)\)
\(=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)
【問題】3変数の対称式と交代式の因数分解
問 次の式を因数分解しましょう。
(1)\(x+y+z+xy+yz+zx+xyz+1\)
(2)\(x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)\)
