高校数学で学習する、a3+b3+c3－3abcの因数分解の公式とその導き方、問題についてまとめました。
この因数分解の公式は3次式の基本の因数分解の公式から導くことができますが、やや難しいです。公式自体も覚えておくとテストで有利でしょう。
a3+b3+c3－3abcの因数分解公式
\(a^3+b^3+c^3-3abc\)の因数分解の公式は次のようになります。
\(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)
上の公式の証明は以下のとおりです。
\(a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\) を利用
\(=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc\)
\(=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc\)
\(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\)の公式を利用
\(=\left\{ (a+b)+c \right\} \left\{(a+b)^2-(a+b)c+c^2 \right\} -3ab(a+b+c)\)
\(=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ca-bc+c^2)-3ab(a+b+c)\)
\((a+b+c)\)が共通因数
\(=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ca-bc+c^2-3ab)\)
\(=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)
【問題編】a3+b3+c3－3abcの因数分解
問 上で学習した公式を利用して、次の式を因数分解しましょう。
(1)\(x^3+y^3+8-6xy\)
(2)\((x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3\)
