N進法の小数を10進数にする方法、10進数の小数をN進数で表す方法についてまとめました。
N進法の小数を10進数になおす問題では、小数点以下の位がN分の１、N2乗分の１…となっていくことが理解できれば、すんなり解けると思います。
逆にN進法の小数を10進数になおすときは、小数のかけ算を利用したちょっと特殊なやり方になります。こちらも1度やり方を覚えてしまえば簡単です。ポイントはN倍しつつ整数をはぶいていくことです。
※2023年9月17日に問題編問1(2)の答えを修正しました。お知らせいただきありがとうございます。
N進法の小数を10進法で表す
N進法の小数では小数点以下の位を、\(\displaystyle\frac{ 1 }{n}\) 、\(\displaystyle\frac{1}{n^2}\) 、\(\displaystyle\frac{1}{n^3}\) 、\(\displaystyle\frac{1}{n^4}\) … と表すことができます。
例えば0.101(2)（2進数0.101）を10進数で表すと、
\(1×\displaystyle\frac{ 1 }{2}+0×\displaystyle\frac{1}{2^2}+1×\displaystyle\frac{1}{2^3}=0.625\)
0.32(5)（5進数0.32）なら、
\(3×\displaystyle\frac{ 1 }{5}+2×\displaystyle\frac{1}{5^2}=0.68\)
となります。
10進数の小数をN進法で表す
10進数をN進法で表したいときは、
\(10進数=\displaystyle\frac{ a_1 }{n}+\displaystyle\frac{a_2}{n^2}+\displaystyle\frac{a_3}{n^3}+\displaystyle\frac{a_4}{n^4}…\)
とおいて、（整数部分をはぶきながら）両辺をくりかえしn倍し、a1、a2、a3、a4…の順に小数の各位の数を見つけていきます。
例えば10進数の0.625を2進法で表したければ、
\(0.625=\displaystyle\frac{ a_1 }{2}+\displaystyle\frac{a_2}{2^2}+\displaystyle\frac{a_3}{2^3}+\displaystyle\frac{a_4}{2^4}…\)
両辺を2倍すると、
\(1.25=a_1 +\displaystyle\frac{a_2}{2}+\displaystyle\frac{a_3}{2^2}…\)
となるので、a1=1とわかります。整数部分をはぶいて、つまり両辺からa1（=1）を引いた後、さらに両辺を2倍します。
\(0.5={a_2}+\displaystyle\frac{a_3}{2}…\)
a2=0、両辺を2倍
\(1={a_3}…\)
a3=1、よって0.101と求められます。
しかしこのやり方だとわかりにくいですね。
筆算を使って求めるのが簡単です。
筆算で10進数の小数をN進法で表す
10進数の小数をN進法で表したいとき、かけ算の筆算を使うと簡単です。
10進数0.625を2進数になおしたければ、整数部分をはぶきながら2倍していきます。はぶいた整数が順に小数の各位の数になっていきます。
【問題編】N進法の小数
問1 次の数を、10進法の小数で表しましょう。
(1) 0.1101(2)
(2) 0.34(8)
問2 次の10進数の小数を、（ ）内のN進法で表しましょう。
(1) 0.24（5進法）
(2) 0.6875（2進法）
まとめ
N進数の小数を10進数になおすときは、
\(a_1×\displaystyle\frac{ 1 }{n}+a_2×\displaystyle\frac{1}{n^2}+a_3×\displaystyle\frac{1}{n^3}+a_4×\displaystyle\frac{1}{n^4}\) …
と計算していきます。
10進数の小数をN進数になおすときは、「整数部分をはぶきながら」、N倍していくのがポイントです。N倍したときの整数部分が小数の各位の数になります。
