高校数学A【図形の性質】接弦定理まとめと問題

※免責事項・・・当サイトに記載されているコンテンツや情報についてはできる限り正確な情報を提供するように努めておりますが、正確性や安全性を保証するものではありません。情報が古くなっていることもあります。
当サイトに掲載された内容により生じた損害等の一切の責任を負いかねますのでご了承ください。
万一ミスがありましたら問い合わせフォームよりお知らせください。

接弦定理に関するまとめと問題です。接弦定理の証明と、接弦定理を利用した基本問題を紹介しています。

円周角の問題で接線があるときは接弦定理がよく利用されるので、使いこなせるようにしましょう。

スポンサーリンク

接弦定理

接線と弦のつくる角は、その角の内部にある弧に対する円周角と等しくなります。これを接弦定理といいます。

接弦定理

 

なぜこのような定理が導かれるのでしょうか。

接弦定理の証明

(1) 接線と弦のつくる角が鋭角の場合は、下の図のように補助線を入れることで証明できます。

上の図で\(AE\)は直径を表し、接線と直径は垂直になるので\(\angle EAD=90^\circ\)、また直径に対する円周角より\(\angle ECA=90^\circ\)

また\(\stackrel{ \Large \frown }{ BE }\)に対する円周角より\(\angle EAB=\angle ECB\)

よって\(\angle DAB=90^\circ – \angle EAB=90^\circ – \angle ECB =\angle ACB\)

(2) 下の図のように接線と弦のつくる角が直角の場合は、接線と直径のつくる角と直径に対する円周角のどちらも\(90^\circ\)になるので\(\angle DAB=\angle ACB\)となります。

(3) 接線と弦のつくる角が鈍角の場合は、円に内接する四角形を利用します。

(1) より\(\angle EAB=\angle AFB\)

四角形\(ACBF\)は円に内接しているので\(\angle AFB+\angle ACB=180^\circ\)より\(\angle ACB=180^\circ-\angle AFB\)

また\(\angle DAB=180^\circ-\angle EAB\)

よって\(\angle DAB=180^\circ-\angle EAB=180^\circ-\angle AFB=\angle ACB\)

【問題編】接弦定理

問  次の図でA、B、C、Dは円周上にあります(点Aは接点)。\(\angle x\)の大きさを求めましょう。

(2)

(3)

タイトルとURLをコピーしました